第一百五十九章 不想當刷題機器的陸兮尤其可怕(第2/3 頁)

那麼，不想淪為刷題機器，應該怎麼做呢？

這是她這個下午在課堂上魂不守舍，思考了一個下午的問題。

帶著這個疑問，在解答這道簡單的基礎代入解題時，她的腦子轉得特別快，只是一會兒就想了很多很多。

所以此時此刻，她的腦海中生出了很多很多想法，有種一吐而後快的強烈傾訴欲。

看到黃先發和他的小夥伴胡文亮他們豎起耳朵，一副已經做好洗耳恭聽的模樣，陸兮不假思索說道：“表示式??2+??+ 1是一個關於??的二次遞推式，而質數生成的多項式一直是數論中的重要問題。”

“舉個例子？”胡文亮覺得自己還是上道一些比較好。

陸兮於是順口說道：“比如比較有名的尤拉的質數生成多項式：??2+??+41，在??=0到39的範圍內會生成質數。”

“事實上，對於??2+??+1，它本質上是一個迴圈遞推的形式，其特殊性質在於它與三次單位根的關係，比如，??3?1=0的分解因式之一??2+??+1的離散形式。”

“也就是說，它與三次單位根在複數域中的幾何意義有關。”

“然後呢，有什麼意義？”胡文亮皺著眉頭問。

陸兮略一沉吟：“這種形式在有限域比如模??的整數環中有獨特的行為，或許可以用來研究質數分佈模式。”

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“所以這就是你說的深層次的延伸，好像還挺有趣的。”胡文亮眼前一亮，感覺自己似乎進入了一個新的境界，“可以細說一下怎麼用來研究質數的分佈模式嗎？”

“在有限域比如模??的整數環中，研究表示式??2+??+1的行為時，我們可以發現它特定的週期性和結構，這對於研究質數的分佈模式有一定的啟發作用，比如……”

草稿紙上，陸兮下筆如有神助。

研究??2+??+1在模??下的行為，我們就可以考察表示式??2+??+1在模??（??是質數）下是否能生成所有剩餘類，或者是否會恆為非零。

1在模3的情況：

??2+??+1=0，模3對於任意??恆成立。

證明：??2+??+1=??(??+1)+1

對於模3，有??和??+1總有一個能被 3整除，因此??(??+1)恆為3的倍數，加1後結果就是 0。

結論：在模3意義下，表示式恆為0。

2在模5的情況：

我們列出??=0，1，2，3，4時??2+??+ 1模5的值：

??=0???2+??+1≡1模5

??=1???2+??+1≡3模5

??=2???2+??+1≡2模5

??=3???2+??+1≡2模5

??=4???2+??+1≡3模5

發現，表示式的值不覆蓋所有剩餘類，而是週期性地取{1，2，3}的子集。

結論：在模5意義下，表示式的值形成周期性序列。

3一般??的情況：

我們關注??2+??+1模??是否恆為非零或覆蓋所有剩餘類。

對於??=7，可以發現它的值可能為{1，2，3，4，5，6}，但永遠不會是0。

這種情況與??2+??+1是否可以被模??整除，即是否有解密切相關。

“由此，我們可以得到以下兩個現象。第一：如果??2+??+1≡0模??沒有解，則其值在模??下形成一個迴圈序列，且永不為零；第二：如果有解，??2+??+1