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二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所不知對邊。此其理具對邊求對角，反觀自明。

三曰兩邊夾一角求不知之二角，以所知角旁兩邊相加為一率，相減餘為二率，所知角與半周相減，餘為外角，半之，取其正切為三率，求得四率，為半較角正切。對錶得度，與半外角相加，為對所知角旁略大邊之角；相減，餘為對所知角旁略小邊之角。此其理一在平三角形。三角相併，必共成半周。如圖甲乙丙形，中垂線甲丁，分為兩正角形。正角為長方之半，長方四角皆正九十度，正角形兩銳角斜剖長方，此角過九十度之半幾何，彼角不足九十度之半亦幾何，一線徑過，其勢然也。故甲右邊分角必與乙角合為九十度，甲左邊分角必與丙角合為九十度。論正角形各加丁角，皆成半周，合為銳角形。除去丁角，三角合亦自為半周。故既知一角之外，其餘二角雖不知各得幾何度分，必知其共得此角減半周之餘也。一在三角同式形比例。如圖丙庚戊形，知丙庚、丙戊兩邊及丙角。展丙庚為丙甲，連丙戊為甲戊，兩邊相加。截丙戊於丙丁，為戊丁，兩邊相減餘。作庚丁虛線，丙庚、丙丁同長，庚丁向圓內二角必同度，是皆為丙角之半外角，與甲辛、辛庚之度等。而庚向圓外之角，即本形庚角大於戊角之半，是為半外角。以庚丁為半徑之比，則甲庚即為丁半外角正切之比。半徑與正切恆為正角，甲庚與庚丁圓內作兩通弦，亦無不成正角故也。又作丁己線，與甲庚平行，庚丁仍為半徑之比，丁己又為庚向圓外半較角正切之比。而戊甲庚大形與戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一線，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊兩邊相加為一率，戊丁兩邊相減餘為二率，甲庚半外角正切為三率，求得四率，自當丁己半較角正切也。

四曰兩角夾一邊求不知之一角，以所知兩角相併，與半周相減，餘即得。此其理具兩邊夾一角。

五曰三邊求角，以大邊為底，中、小二邊相併相減，兩數相乘，大邊除之，得數與大邊相加折半為分底大邊，相減餘折半為分底小邊。乃以中邊為一率，分底大邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對小邊角餘弦。或以小邊為一率，分底小邊為二率，半徑為三率，求得四率，為對中邊角餘弦。此其理在勾股弦冪相求及兩方冪相較。如圖甲丙中邊、甲乙小邊皆為弦，乙丙大邊由丁分之，丁丙、丁乙皆為勾，中垂線甲丁為股。勾股冪相併恆為弦冪，今甲丁股既兩形所同，則甲丙大弦冪多於甲乙小弦冪，即同丙丁大勾冪多於乙丁小勾冪。又兩方冪相較，恆如兩方根和較相乘之數。如圖戊寅壬庚為大方冪，減去己卯辛庚小方冪，餘戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛為癸寅醜子，成一直方形，其長戊醜，自為大方根戊寅、小方根卯辛之和；其闊戊己，自為大方根戊庚、小方根己庚之較。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加為和，相減為較。兩數相乘，即如丙丁、丁乙和較相乘之數。丙